5.2 Movimiento curvilíneo

Movimiento parabólico, oscilatorio y circular

-Movimiento parabólico

link: https://www.fisicalab.com/apartado/movimiento-parabolico 

El movimiento parabólico, también conocido como tiro oblicuo, es un ejemplo de composición de 

movimientos en dos dimensiones: un m.r.u. en el eje horizontal y un m.r.u.a. en el eje vertical.

El movimiento parabólico, también conocido como tiro oblicuo, consiste en lanzar un cuerpo con una velocidad que forma un ángulo α con la horizontal. En la siguiente figura puedes ver una representación de la situación.

En física suele denominarse proyectil a cualquier cuerpo lanzado en el espacio por la acción de una fuerza, aunque en castellano suele utilizarse este término especialmente para aquellos lanzados con un arma.

El cuerpo en movimiento parabólico puede ser cualquier cosa: una pelota de futbol, de tenis, un dardo, un misil... a todos ellos los denominaremos de manera genérica proyectiles.

- Formulas

Las ecuaciones del movimiento parabólico son:

• Las ecuaciones del m.r.u. para el eje x

  x=x0+vx⋅t

• Las ecuaciones del m.r.u.a. para el eje y

  vy=v0y+ay⋅t
  y=y0+v0y⋅t+12⋅ay⋅t2

Dado que, como dijimos anteriormente, la velocidad forma un ángulo α con la horizontal, las componentes x e y se determinan recurriendo a las relaciones trigonométricas más habituales:

Finalmente, teniendo en cuenta lo anterior, que y0 = H , x0 = 0, y que ay = -g , podemos reescribir las fórmulas tal y como quedan recogidas en la siguiente lista. Estas son las expresiones finales para el cálculo de las magnitudes cinemáticas en el movimiento parabólico o tiro oblicuo:

• Posición (m)

  • Eje horizontal

    x=vx⋅t=v0⋅cos(α)⋅t

  • Eje vertical

    y=H+v0y⋅t−12⋅g⋅t2=H+v0⋅sin(α)⋅t−12⋅g⋅t2

• Velocidad (m/s)

  • Eje horizontal

    vx=v0x=v0⋅cos(α)

  • Eje vertical

    vy=v0y−g⋅t=v0⋅sin(α)−g⋅t

• Aceleración (m/s2)

  • Eje horizontal

    ax=0

  • Eje vertical

-Movimiento Oscilatorio

link: http://www.rinconsolidario.org/ciencias/biblioteca/asignaturas/fisicabach/mas.htm 

Es el de un móvil que pasa cada cierto instante por las mismas posiciones.

Se dice que el móvil ha efectuado una oscilación cuando se encuentra en la misma posición que la de partida y moviéndose en el mismo sentido.

Podemos definir entonces:

Periodo (T): tiempo que tarda en producirse una oscilación.

Frecuencia (f): número de oscilaciones que se producen cada segundo.

Movimiento oscilatorio armónico.

Si un cuerpo es apartado de su posición de equilibrio estable, comienzan a actuar sobre él fuerzas restauradoras que tienden a devolverlo a su estado original de equilibrio.

Si dicha fuerza recuperadora obedece la Ley de Hooke:   (es decir: dicha fuerza es proporcional a la posición de la partícula y tiende a llevarla hacia una posición de equilibrio considerada como x=0), entonces la posición de la partícula es una función sinusoidal del tiempo: decimos que dicha partícula está animada de un movimiento armónico simple. Y esta posición se puede escribir:

          (I)

x(t)= elongación: posición de la partícula respecto de la posición de equilibrio (x=0).

A: amplitud: máxima elongación: máxima distancia de la partícula a la posición de equilibrio.

 : frecuencia angular: 

 : fase

 : fase inicial

A partir de la expresión (I), derivando, podemos obtener las expresiones para la velocidad y aceleración de una partícula sometida a este movimiento:

                                

Además, es evidente comprobar que (I) es la solución para el movimiento de una partícula sometida a una fuerza recuperadora que obedece la Ley de Hooke:

  y, como acabamos de ver  , por tanto:  , que se cumple siempre que se haya definido  .

-Movimiento circular 

link: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/circular/circular.htm

En esta sección, vamos a definir las magnitudes características de un movimiento circular, análogas a las ya definidas para el movimiento rectilíneo.

Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia. Una vez situado el origen O de ángulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes.

Posición angular, q En el instante t el móvil se encuentra en el punto P. Su posición angular viene dada por el ángulo q, que hace el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de ángulos O. El ángulo q, es el cociente entre la longitud del arco s y el radio de la circunferencia r, q=s/r. La posición angular es el cociente entre dos longitudes y por tanto, no tiene dimensiones.

Velocidad angular, w

En el instante t' el móvil se encontrará en la posición P' dada por el ángulo q '. El móvil se habrá desplazado Dq=q ' -q en el intervalo de tiempo Dt=t'-t comprendido entre t y t'.

Se denomina velocidad angular media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo.

Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo, la velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

Aceleración angular, a

Si en el instante t la velocidad angular del móvil es w y en el instante t' la velocidad angular del móvil es w'. La velocidad angular del móvil ha cambiado Dw=w' -w en el intervalo de tiempo Dt=t'-t comprendido entre t y t'.

Se denomina aceleración angular media al cociente entre el cambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio.

La aceleración angular en un instante, se obtiene calculando la aceleración angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

 

Dada la velocidad angular, hallar el desplazamiento angular

Si conocemos un registro de la velocidad angular del móvil podemos calcular su desplazamiento q -q₀ entre los instantes t₀ y t, mediante la integral definida.

El producto w dt representa el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos angulares infinitesimales entre los instantes t₀ y t.

En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad angular en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento angular total del móvil entre los instantes t₀ y t, el arco en color azul marcado en la circunferencia.

Hallamos la posición angular q  del móvil en el instante t, sumando la posición inicial q₀ al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva w-t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.

 

Dada la aceleración angular, hallar el cambio de velocidad angular

Del mismo modo que hemos calculado el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t₀ y t, a partir de un registro de la velocidad angular w en función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad w -w₀ que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de una gráfica de la aceleración angular en función del tiempo.

En la figura, el cambio de velocidad w -w0 es el área bajo la curva a - t, o el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior. Conociendo el cambio de velocidad angular w -w0, y el valor inicial w0 en el instante inicial t0, podemos calcular la velocidad angular w en el instante t.

Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento circular son similares a las del movimiento rectilíneo.

 

Movimiento circular uniforme

Un movimiento circular uniforme es aquél cuya velocidad angular w  es constante, por tanto, la aceleración angular es cero. La posición angular q  del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando q -q0=w(t-t0) o gráficamente, en la representación de w en función de t.

Habitualmente, el instante inicial t₀ se toma como cero. Las ecuaciones del movimiento circular uniforme son análogas a las del movimiento rectilíneo uniforme.

 

Movimiento circular uniformemente acelerado

	Un movimiento circular uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración a es constante. Dada la aceleración angular podemos obtener el cambio de velocidad angular w -w0 entre los instantes t0 y t, mediante integración, o gráficamente.
	Dada la velocidad angular w en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento q -q0 del móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando

Habitualmente, el instante inicial t₀ se toma como cero. Las fórmulas del movimiento circular uniformemente acelerado son análogas a las del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

Despejando el tiempo t en la segunda ecuación  y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad angular ω con el desplazamiento θ-θ₀

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1. Video

Descripción escrita del video

 

El problema consiste en saber la altura máxima que alcanzara

Los datos necesarios para el cálculo son

Angulo: 60°

Velocidad: 100 km/h

Aceleración de la gravedad: 10 m/s^2

Se convierte de kilómetros a metros la velocidad recorrida al igual que convertimos las horas a segundo dejando la velocidad como 27.78 m/s.

Haciendo uso del plano cartesiano se traza  la trayectoria parabólica se marca el punto más alto a donde llegan los platos en donde vemos que es lo que necesitamos buscar, marcando los datos que ya tenemos y nombrando los datos que es necesario sacar

Ahora se hace uso de la fórmula:

Entonces los datos se acomodaran de la siguiente manera:

Terminándose aquí el problema y dándole resultado a la pregunta.